Question

2．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₂＜0，且1，a₂，81成等比數(shù)列，a₃+a₇=-6．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求{$\frac{{S}_{n}}{n}$}的前n項(xiàng)和T_n取得最小值時(shí)n的值．

Answer 1

分析 （I）由a₃+a₇=-6=2a₅，解得a₅．由1，a₂，81成等比數(shù)列，${a}_{2}^{2}$=1×81，a₂＜0，解得a₂．可得等差數(shù)列{a_n}的公差d=$\frac{{a}_{5}-{a}_{2}}{5-2}$．可得a_n．
（II）S_n=n²-12n.$\frac{{S}_{n}}{n}$=n-12．由n-12≤0，解得n即可得出．

解答 解：（I）∵a₃+a₇=-6=2a₅，解得a₅=-3．
∵1，a₂，81成等比數(shù)列，${a}_{2}^{2}$=1×81，a₂＜0，∴a₂=-9．
∴等差數(shù)列{a_n}的公差d=$\frac{{a}_{5}-{a}_{2}}{5-2}$=$\frac{-3-（-9）}{5-2}$=2．
∴a_n=a₂+（n-2）×2=2n-13．
（II）S_n=$\frac{n（-11+2n-13）}{2}$=n²-12n．
$\frac{{S}_{n}}{n}$=n-12．
由n-12≤0，解得n≤12，
∴當(dāng)n=11，12時(shí)，{$\frac{{S}_{n}}{n}$}的前n項(xiàng)和T_n取得最小值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的性質(zhì)、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．