Question

20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)，M是拋物線C上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，過M，F(xiàn)，O三點(diǎn)的圓的圓心為Q，點(diǎn)Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為$\frac{3}{4}$．過定點(diǎn)D（0，p）作直線與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)．
（I）求拋物線C的方程；
（II）若點(diǎn)N是點(diǎn)D關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)，求△ANB面積的最小值；
（Ⅲ）是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AD為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （I）依題意知F（0，$\frac{p}{2}$），由題意知$\frac{3p}{4}$=$\frac{3}{4}$，由此能求出拋物線C的方程．
（II）依題意可知點(diǎn)N的坐標(biāo)，可設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)出直線AB的方程，與拋物線聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂和的x₁x₂表達(dá)式，代入三角形面積公式中，可得k=0時(shí)△ANB面積有最小值，并且求出最小值．
（Ⅲ）假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為y=a，則以AC為直徑的圓的方程為（x-0）（x-x₁）-（y-p）（y-y₁）=0，將直線方程y=a代入得x²-x₁x+（a-p）（a-y₁）=0，則|x₁-x₂|²=4[a-$\frac{p}{2}$）y₁+a（p-a）]．由此入手能夠求出拋物線的通徑所在的直線．

解答 解：（I）拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)F（0，$\frac{p}{2}$），
圓心Q在線段OF的垂直平分線y=$\frac{p}{4}$上．
因?yàn)閽佄锞�C的準(zhǔn)線方程為y=-$\frac{p}{2}$，
所以$\frac{3p}{4}$=$\frac{3}{4}$，即p=1．
因此拋物線C的方程為x²=2y．
（II）依題意得：點(diǎn)N的坐標(biāo)為N（0，-1），可設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
設(shè)直線AB的方程為y=kx+1，
直線方程與x²=2y聯(lián)立，消去y得x²-2kx-2=0，
所以由韋達(dá)定理得x₁+x₂=2k，x₁x₂=-2．

由圖可得：S_△ABN=S_△BCN+S_△ACN=|x₁-x₂|=2$\sqrt{{k}^{2}+2}$，
∴當(dāng)k=0，（S_△ABN）_min=2$\sqrt{2}$；
（Ⅲ）假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為y=a，則以AC為直徑的圓的方程為（x-0）（x-x₁）+（y-p）（y-y₁）=0，
將直線方程y=a代入得x²-x₁x+（a-p）（a-y₁）=0，
則|x₁-x₂|²=4[a-$\frac{p}{2}$）y₁+a（p-a）]．
設(shè)直線l與以AC為直徑的圓的交點(diǎn)為P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），
則有|PQ|²=|x₃-x₄|²=4[a-$\frac{p}{2}$）y₁+a（p-a）]．
令a-$\frac{p}{2}$=0，得a=$\frac{p}{2}$，此時(shí)|PQ|=p為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為y=$\frac{p}{2}$，
即拋物線的通徑所在的直線．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線方程的求法，考查滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問題的能力．