Question

8．已知f（x）=ax²-（a+1）x+1-b（a，b∈R）．
（1）若a=1，不等式f（x）≥x-1在b∈[6，17]上有解，求x的取值范圍；
（2）若b=0，函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$是奇函數(shù)，判斷并證明y=g（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性；
（3）若f（-1）=0，且|a-b|≤t（t＞0），求a²+b²+b的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一元二次不等式的解法進(jìn)行求解即可．
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求出a的值即可．
（3）利用消元法消去b，構(gòu)造關(guān)于a的函數(shù)，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）若a=1，則f（x）=x²-2x+1-b，
則不等式f（x）≥x-1在b∈[6，17]上有解，等價(jià)為不等式x²-2x+1-b≥x-1在b∈[6，17]上有解，
即x²-3x+2≥b在b∈[6，17]上有解，
即x²-3x+2≥6，得x²-3x-4≥0，
即x≥4或x≤-1．
（2）若b=0，則g（x）=$\frac{a{x}^{2}-（a+1）x+1}{x}$=ax-（a+1）+$\frac{1}{x}$，
若g（x）是奇函數(shù)，
則g（-x）=-g（x），即-ax-（a+1）-$\frac{1}{x}$=-（ax-（a+1）+$\frac{1}{x}$）=-ax+（a+1）-$\frac{1}{x}$，
即-（a+1）=a+1，則a+1=0，則a=-1．
即g（x）=-x+$\frac{1}{x}$，
當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)y=-x為減函數(shù)，y=$\frac{1}{x}$為減函數(shù)，
則g（x）=-x+$\frac{1}{x}$為減函數(shù)．
（3）若f（-1）=0，則2a+2-b=0，即b=2a+2，
∵|a-b|≤t（t＞0），
∴-2-t≤a≤-2+t，
a²+b²+b=a²+（2a+2）²+2a+2=5a²+10a+6，
令g（a）=5a²+10a+6，對(duì)稱軸為a=-1，
∵t＞0，
∴-2-t＜-2＜-1，
①若0＜t≤1，則-2+t≤-1，則g（a）_min=g（-2+t）=5t²-10t+6，
②若t＞1，則-2+t＞-1，則g（a）_min=g（-1）=1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查與一元二次函數(shù)有關(guān)的性質(zhì)，考查函數(shù)是奇偶性和單調(diào)性的判斷，利用構(gòu)造法結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．