Question

10．己知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）部分圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]時，求函數(shù)y=f（x-1）的值域．

Answer 1

分析 （1）由圖象可得A，T，可得ω，由$\frac{π}{2}$×$（-\frac{1}{3}）$+φ=kπ（k∈Z），結(jié)合0＜φ＜$\frac{π}{2}$可求得φ，于是可得函數(shù)解析式．
（2）由x∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]，可得$\frac{π}{2}$x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{11π}{12}$]，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求值域．

解答 解：（1）由函數(shù)的圖象可得A=2，
T=4×（$\frac{2}{3}+\frac{1}{3}$）=4=$\frac{2π}{ω}$，解得ω=$\frac{π}{2}$；
∴f（x）=2sin（$\frac{π}{2}$x+φ），
又$\frac{π}{2}$×$（-\frac{1}{3}）$+φ=kπ（k∈Z），
∴φ=kπ+$\frac{π}{6}$（k∈Z），而0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{6}$，
∴函數(shù)f（x）的解析式為：f（x）=2sin（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{6}$）．
（2）∵x∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]，
∴$\frac{π}{2}$x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{11π}{12}$]，
∴y=f（x-1）=2sin（$\frac{π}{2}$x-$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{6}$）=2sin（$\frac{π}{2}$x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\sqrt{2-\sqrt{3}}$，2]．

點評 本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，求得f（x）=2sin（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{6}$）是關(guān)鍵，屬于中檔題．