Question

2．設(shè)m∈R，過定點(diǎn)A的動(dòng)直線x+my=0和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線mx-y-m+3=0交于點(diǎn)P（x，y），則$\sqrt{3}$PA+PB的最大值是2$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 可得直線分別過定點(diǎn)（0，0）和（1，3）且垂直，可得|PA|²+|PB|²=10．三角換元后，由三角函數(shù)的知識(shí)可得$\sqrt{3}$PA+PB的最大值．

解答 解：由題意可得A（0，0），由于直線mx-y-m+3=0，即 m（x-1）-y+3=0，顯然經(jīng)過定點(diǎn)B（1，3），
注意到動(dòng)直線x+my=0和動(dòng)直線mx-y-m+3=0始終垂直，P又是兩條直線的交點(diǎn)，
則有PA⊥PB，∴|PA|²+|PB|²=|AB|²=10．
設(shè)∠ABP=θ，則|PA|=$\sqrt{10}$sinθ，|PB|=$\sqrt{10}$cosθ．
∵|PA|≥0且|PB|≥0，可得θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴$\sqrt{3}$|PA|+|PB|=$\sqrt{30}$sinθ+$\sqrt{10}$cosθ=2$\sqrt{10}$[$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinθ+$\frac{1}{2}$cosθ）=2$\sqrt{10}$sin（θ+$\frac{π}{6}$），
∵θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴θ+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，∴當(dāng)θ+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，2$\sqrt{10}$sin（θ+$\frac{π}{6}$）取得最大值為 2$\sqrt{10}$，
故答案為：2$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線過定點(diǎn)問題，涉及直線的垂直關(guān)系和三角恒等變換，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬中檔題．