Question

18．如圖，在多面體ABCD-EFG中，O是菱形ABCD的對角線AC與BD的交點，四邊形ABGF，ADEF都是矩形．
（Ⅰ）證明：平面ACF⊥平面BDEG；
（Ⅱ）若∠ABC=120°，AB=2，AF=3，求直線CG與AE所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出AF⊥AB，AF⊥AD，從而AF⊥平面ABCD，進(jìn)而BD⊥AF，又BD⊥AC，由此能證明平面ACF⊥平面BDEG．
（Ⅱ）以O(shè)為原點，OB，OC所在直線分別為x軸，y軸，平行于AF所在直線為z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線CG與AE所成角的余弦值．

解答 （本小題滿分12分）
證明：（Ⅰ）∵四邊形ABGF，ADEF都是矩形，
∴AF⊥AB，AF⊥AD，（1分）
又AB∩AD=A，且AB、AD?平面ABCD，
∴AF⊥平面ABCD．（2分）
又BD?平面ABCD，∴BD⊥AF．（3分）
又∵AC，BD是菱形ABCD 的對角線，
∴BD⊥AC．（4分）
∵AF，AC?平面ACF，AF∩AC=A，∴BD⊥平面ACF，（5分）
又∵BD?平面BDEG，∴平面ACF⊥平面BDEG．（6分）
解：（Ⅱ）以O(shè)為原點，OB，OC所在直線分別為x軸，y軸，
平行于AF所在直線為z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系．（7分）
∵ABCD是菱形，且∠ABC=120°，AB=2，
∴△BCD是等邊三角形，OB=OD=1，$OC=OA=\sqrt{3}$．（8分）
∵AF=3，∴A，C，E，G的坐標(biāo)分別為：
$A（0，-\sqrt{3}，0），C（0，\sqrt{3}，0），E（-1，0，3），G（1，0，3）$．（9分）
∴$\overrightarrow{CG}=（1，-\sqrt{3}，3），\overrightarrow{AE}=（-1，\sqrt{3}，3）$，（10分）
所以$cos＜\overrightarrow{CG}，\overrightarrow{AE}＞=\frac{{\overrightarrow{CG}•\overrightarrow{AE}}}{{|\overrightarrow{CG}||\overrightarrow{AE}|}}=\frac{-1-3+9}{{\sqrt{13}•\sqrt{13}}}=\frac{5}{13}$，（11分）
即直線CG與AE所成角的余弦值為$\frac{5}{13}$．（12分）

點評 本題考查面面垂直的證明，考查線線角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．