Question

7．在邊長(zhǎng)為2的正方形鐵板ABCD中．以點(diǎn)C為圓心，1為半徑作的$\frac{1}{4}$個(gè)圓，如圖所示，過圓弧上任意一點(diǎn)作圓弧的切線，可將鐵板切為兩個(gè)部分，求點(diǎn)A的所在部分的最大面積．

Answer 1

分析 通過建系且設(shè)P（cosα，sinα）（其中π＜α＜$\frac{3}{2}$π，），利用直線OP的斜率存在且為tanα進(jìn)而可知直線MN的方程y=-$\frac{1}{tanα}$x+$\frac{1}{sinα}$，求出M（$\frac{1}{cosα}$，0）、N（0，$\frac{1}{sinα}$），進(jìn)而利用三角形面積公式及基本不等式計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：建系如圖，設(shè)P（cosα，sinα），其中π＜α＜$\frac{3}{2}$π，
則直線OP的斜率存在且為$\frac{sinα}{cosα}$=tanα，
從而直線MN的斜率為-$\frac{1}{tanα}$，直線MN的方程為：y-sinα=-$\frac{1}{tanα}$（x-cosα），
整理得：y=-$\frac{1}{tanα}$x+$\frac{1}{sinα}$，
令y=0可知x=$\frac{1}{cosα}$，令x=0可知y=$\frac{1}{sinα}$，即M（$\frac{1}{cosα}$，0）、N（0，$\frac{1}{sinα}$），
∴S_△OMN=$\frac{1}{2}$MN•OP=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{\frac{1}{co{s}^{2}α}+\frac{1}{si{n}^{2}α}}$
=$\frac{1}{2}•$$\sqrt{\frac{si{n}^{2}α}{co{s}^{2}α}+\frac{co{s}^{2}α}{si{n}^{2}α}+2}$
≥$\frac{1}{2}•$$\sqrt{2\frac{sinα}{cosα}•\frac{cosα}{sinα}+2}$
=1，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{cosα}{sinα}$即α=$\frac{5}{4}$π時(shí)取等號(hào)，
∴點(diǎn)A的所在部分的最大面積為2•2-1=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合能力，涉及坐標(biāo)的設(shè)法、基本不等式、三角函數(shù)等基本知識(shí)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．