Question

17．已知函數(shù)f（x）=ax+lnx（a∈R），g（x）=$\frac{{x}^{2}}{x-lnx}$．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若h（x）=f（x）-g（x）恰有三個不同的零點(diǎn)x₁，x₂，x₃（x₁＜x₂＜x₃）．
①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
②求證：（1-$\frac{ln{x}_{1}}{{x}_{1}}$）²（1-$\frac{ln{x}_{2}}{{x}_{2}}$）（1-$\frac{ln{x}_{3}}{{x}_{3}}$）=1．

Answer 1

分析 （1）把a(bǔ)=1代入函數(shù)解析式，求導(dǎo)后得到其單調(diào)區(qū)間，注意到函數(shù)的定義域．
（2）①先分離參數(shù)得到$a=\frac{x}{x-lnx}-\frac{lnx}{x}$，令h（x）=$\frac{x}{x-lnx}-\frac{lnx}{x}$．求導(dǎo)后得其極值點(diǎn)，求得函數(shù)極值，則使h（x）恰有三個零點(diǎn)的實(shí)數(shù)a的范圍可求．
②由a=$\frac{x}{x-lnx}-\frac{lnx}{x}$=$\frac{1}{1-\frac{lnx}{x}}-\frac{lnx}{x}$，再令$μ=\frac{lnx}{x}$，轉(zhuǎn)化為關(guān)于μ的方程后由根與系數(shù)關(guān)系得到μ₁+μ₂=1-a＜0，μ₁μ₂=1-a＜0，再結(jié)合著$μ=\frac{lnx}{x}$的圖象可得到$（1-\frac{ln{x}_{1}}{{x}_{1}}）^{2}（1-\frac{ln{x}_{2}}{{x}_{2}}）（1-\frac{ln{x}_{3}}{{x}_{3}}）$=1

解答 （1）當(dāng)a=1時(shí)，$f′（x）=1+\frac{1}{x}$＞0（x＞0），
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）．
（2）①令$h（x）=ax+lnx-\frac{{x}^{2}}{x-lnx}$=0，
分離參數(shù)得$a=\frac{x}{x-lnx}-\frac{lnx}{x}$，
令h（x）=$\frac{x}{x-lnx}-\frac{lnx}{x}$，
由h′（x）=$\frac{1-lnx}{（x-lnx）^{2}}-\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{lnx（1-lnx）（2x-lnx）}{{x}^{2}（x-lnx）^{2}}$=0，得x=1或x=e．
列表知，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h′（x）＜0；當(dāng)x∈（1，e）時(shí)，h′（x）＞0；當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，h′（x）＜0．
即h（x）在（0，1），（e，+∞）上為減函數(shù)，在（1，e）上為增函數(shù)．
而當(dāng)x→0，h（x）→+∞，當(dāng)x→+∞，h（x）→1，又h（1）=1，h（e）=$1+\frac{1}{e（e-1）}$；
結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（1，$1+\frac{1}{e（e-1）}$）．
②由①可知，0＜x₁＜1＜x₂＜e＜x₃，
a=$\frac{x}{x-lnx}-\frac{lnx}{x}$=$\frac{1}{1-\frac{lnx}{x}}-\frac{lnx}{x}$，令$μ=\frac{lnx}{x}$，
則a=$\frac{1}{1-μ}-μ$，即μ²+（a-1）μ+1-a=0，
μ₁+μ₂=1-a＜0，μ₁μ₂=1-a＜0，
對于$μ=\frac{lnx}{x}$，$μ′=\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$
則當(dāng)0＜x＜e時(shí)，μ′＞0；當(dāng)x＞e時(shí)，μ′＜0．而當(dāng)x＞e時(shí)，μ恒大于0．
畫其簡圖，
不妨設(shè)μ₁＜μ₂，則${μ}_{1}=\frac{ln{x}_{1}}{{x}_{1}}，{μ}_{2}=\frac{ln{x}_{2}}{{x}_{2}}=\frac{ln{x}_{3}}{{x}_{3}}$，
∴$（1-\frac{ln{x}_{1}}{{x}_{1}}）^{2}（1-\frac{ln{x}_{2}}{{x}_{2}}）（1-\frac{ln{x}_{3}}{{x}_{3}}）$=$（1-{μ}_{1}）^{2}（1-{μ}_{2}）（1-{μ}_{2}）$=$[（1-{μ}_{1}）（1-{μ}_{2}）]^{2}$
=$[1-（{μ}_{1}+{μ}_{2}）+{μ}_{1}{μ}_{2}]^{2}$
=[1-（1-a）+（1-a）]²=1

點(diǎn)評 本題考察了利用函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，極值等性質(zhì)，訓(xùn)練了函數(shù)零點(diǎn)的判斷方法，運(yùn)用了分離變量法，換元法，函數(shù)構(gòu)造法等數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，綜合性強(qiáng)屬于壓軸題范疇．