Question

5．已知離心率為e的橢圓Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}-4}$+$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$=1（a＞2）的上、下焦點(diǎn)分別為F₁和F₂，過(guò)點(diǎn)（0，2）且不與y軸垂直的直線與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，若△MNF₂為等腰直角三角形，則e²=$9-3\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由已知求出橢圓的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程，設(shè)△MNF₂為等腰直角三角形，且MN=NF₂，MN⊥NF₂，設(shè)N到下準(zhǔn)線的距離為m，M到上準(zhǔn)線的距離為n，由橢圓的第二定義，利用合分比性質(zhì)，以及勾股定理得到關(guān)于a的方程，解方程可得a，再由離心率公式求得答案．

解答 解：由橢圓Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}-4}$+$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$=1（a＞2），
得c²=a²-（a²-4）=4，∴c=2，
則橢圓的上、下焦點(diǎn)分別為F₁（0，2），F(xiàn)₂（0，-2），
離心率e=$\frac{2}{a}$，準(zhǔn)線方程為y=±$\frac{{a}^{2}}{2}$，
如圖△MNF₂為等腰直角三角形，且MN=NF₂，MN⊥NF₂，
設(shè)N到下準(zhǔn)線的距離為m，M到上準(zhǔn)線的距離為n，
由橢圓的定義可得，e=$\frac{N{F}_{2}}{m}$=$\frac{N{F}_{1}}{{a}^{2}-m}$=$\frac{M{F}_{1}}{n}=\frac{M{F}_{2}}{{a}^{2}-n}$，
即有$\frac{N{F}_{2}}{m}=\frac{MN}{{a}^{2}-m+n}=\frac{M{F}_{2}}{{a}^{2}-n}$=$\frac{\sqrt{2}MN}{{a}^{2}-n}=\frac{MN}{m}$，
則2m-n=a²，（$\sqrt{2}$+1）n-$\sqrt{2}$m=（1-$\sqrt{2}$）a²，
解得：m=（2-$\sqrt{2}$）a²，
又NF₁²+NF₂²=F₁F₂²=16，
即有（$\frac{2}{a}$（a²-m））²+（$\frac{2}{a}$•m））²=16，
代入m=（2-$\sqrt{2}$）a²，解方程可得a=$\frac{2}{3}（\sqrt{6}+\sqrt{3}）$，
即有${e}^{2}=（\frac{c}{a}）^{2}=（\frac{2}{\frac{2}{3}（\sqrt{6}+\sqrt{3}）}）^{2}=（\sqrt{6}-\sqrt{3}）^{2}$=$9-3\sqrt{2}$．
故答案為：$9-3\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，考查比例的性質(zhì)和勾股定理的運(yùn)用，考查靈活變形及運(yùn)算能力，屬難題．