Question

6．如果對定義在R上的函數(shù)f（x）對任意兩個不相等的實數(shù)x₁，x₂，都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，則稱函數(shù)f（x）為“H函數(shù)”．給出下列函數(shù)①y=-x³+x+1；②y=3x-2（sinx-cosx）；③y=e^x+1；④$f（x）=\left\{\begin{array}{l}ln|x|{\;}_{\;}^{\;}x≠0\\ 0{\;}_{\;}^{\;}{\;}_{\;}^{\;}x=0\end{array}\right.$．其中“H函數(shù)”的個數(shù)為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，等價為函數(shù)f（x）為增函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)或函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可．

解答 解：若函數(shù)f（x）對任意兩個不相等的實數(shù)x₁，x₂，都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，
則等價為函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
則①y=-x³+x+1；
則y′=-3x²+1，由f′（x）＞0得-$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜x＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為不是（-∞，+∞），不滿足條件．
②y=3x-2（sinx-cosx）；
則y′=3-2$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）＞0恒成立，即函數(shù)在（-∞，+∞）上為增函數(shù)滿足條件．
③y=e^x+1在（-∞，+∞）為增函數(shù)，滿足條件；
④$f（x）=\left\{\begin{array}{l}ln|x|{\;}_{\;}^{\;}x≠0\\ 0{\;}_{\;}^{\;}{\;}_{\;}^{\;}x=0\end{array}\right.$為偶函數(shù)，在（-∞，+∞）不是單調(diào)遞增函數(shù)，不滿足條件．
故“H函數(shù)”的個數(shù)為2個，
故選：B．

點評 本題主要考查與函數(shù)有關(guān)的新定義，弄懂題意，將條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)遞增函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．