Question

7．已知數(shù)列{a_n}（n=1，2，3，…）滿足a_n+1=2a_n，且a₁，a₂+1，a₃成等差數(shù)列，設(shè)b_n=3log₂a_n-7．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{|b_n|}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由等比數(shù)列的定義可得公比為2，再由等差數(shù)列的中項的性質(zhì)，解方程可得首項為2，可得數(shù)列{a_n}的通項公式；再由對數(shù)的運算性質(zhì)可得{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）運用等差數(shù)列的求和公式，對n討論，當(dāng)1≤n≤2時，b_n＜0，即有T_n=-S_n；當(dāng)n≥3，n∈N，可得T_n=S_n-2S₂，化簡整理即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）由a_n+1=2a_n，可得{a_n}為等比數(shù)列，其公比為2，
a₁，a₂+1，a₃成等差數(shù)列，可得2（1+a₂）=a₁+a₃，
即為2（1+2a₁）=a₁+4a₁，解得a₁=2，
即有a_n=a₁q^n-1=2ⁿ；
b_n=3log₂a_n-7=33log₂2ⁿ-7=3n-7；
（Ⅱ）由b_n=3n-7，可得{b_n}的前n項和為S_n=$\frac{1}{2}$n（3n-11），
當(dāng)1≤n≤2時，b_n＜0，即有T_n=-S_n═$\frac{1}{2}$n（11-3n）；
當(dāng)n≥3，n∈N，可得T_n=S_n-S₂-S₂=$\frac{1}{2}$n（3n-11）+10=$\frac{3{n}^{2}-11n+20}{2}$．
綜上可得，T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3{n}^{2}-11n}{2}，n=1，2}\\{\frac{3{n}^{2}-11n+20}{2}，n≥3，n∈N}\end{array}\right.$．

點評 本題考查等比數(shù)列的定義和通項公式的運用，同時考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，屬于中檔題．