Question

19．一漁船停泊在距海岸9km處，假定海岸線是直線，今派人從船上送信到距船3$\sqrt{34}$km處的海岸漁站，如果送信人步行速度為5km/h，船速為4km/h，問應(yīng)在何處登岸再走，才可使抵達(dá)漁站的時(shí)間最短？

Answer 1

分析 先求出時(shí)間的表達(dá)式，再利用導(dǎo)數(shù)的方法求出最值即可．

解答 解：如圖，設(shè)漁艇停泊在A處，
海岸線BC（C為漁站），AB⊥BC于B．
∴AB=9，AC=3$\sqrt{34}$．
設(shè)此人在D處登岸，CD=x，
則BC=15，
∴BD=15-x，∴AD=$\sqrt{{9}^{2}+（15-x）^{2}}$，
∴送信所需時(shí)間t=$\frac{\sqrt{81+（15-x）^{2}}}{4}+\frac{x}{5}$，
∴t′=$\frac{4\sqrt{81+（15-x）^{2}}+5x-75}{20\sqrt{81+（15-x）^{2}}}$．
令t'=0時(shí)，解得（5x-75）²=16[81+（15-x）²]．
∴|15-x|=12，∴x=3，x=27（舍去）．
答：此人在距漁站3km處登岸可使抵達(dá)漁站的時(shí)間最短．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，屬于中檔題．