Question

11．在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，AM是BC邊長的中線，G是AM上的點，且$\overrightarrow{AG}$=2$\overrightarrow{GM}$．
（1）若△ABC三內角A，B，C滿足sinA：sinB：sinC=$\sqrt{3}$：1：2，求sinC的值；
（2）若b²+c²+bc=a²，S_△ABC=3$\sqrt{3}$，當AG取到最小值時，求b的值．

Answer 1

分析 （1）不妨設a=$\sqrt{3}$，則b=1，c=2，利用余弦定理求得cosC=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$=0，可得sinC的值．
（2）由條件利用余弦定理求得A的值，由S_△ABC=3$\sqrt{3}$求得bc=12，．根據(jù)G為△ABC的重心，再結合AM為BC邊上的中線，利用向量以及余弦定理、基本不等式求得AM的最小值，由此求得AG的最小值以及此時b的值．

解答 解：（1）由題意利用正弦定理可得，三邊之比為a：b：c=$\sqrt{3}$：1：2，
不妨設a=$\sqrt{3}$，則b=1，c=2，故有cosC=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$=0，可得C=$\frac{π}{2}$，故sinC=1．
（2）若c²+c²+bc=a²，∴cosA=$\frac{^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$=-$\frac{1}{2}$，∴A=$\frac{2π}{3}$．
根據(jù)AM是BC邊長的中線，G是AM上的點，且$\overrightarrow{AG}$=2$\overrightarrow{GM}$，可得G為△ABC的重心．
S_△ABC=3$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$bc•sinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc，∴bc=12，
∴${（2\overrightarrow{AM}）}^{2}$=${（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）}^{2}$=c²+b²-2bc•cosA≥2bc+bc=3bc=36，
∴AM≥3，當且僅當b=c=2$\sqrt{3}$時，等號成立．
即AM得最小值為$\sqrt{3}$，AG的最小值為$\frac{2}{3}$AM=2，此時b=2$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查正弦定理、余弦定理的應用，基本不等式，屬于中檔題．