Question

12．△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，外接圓半徑為R，則$\frac{r}{4R}$的值等于（　�。�

• A． sin$\frac{A}{2}$sin$\frac{B}{2}$sin$\frac{C}{2}$
• B． cos$\frac{A}{2}$cos$\frac{B}{2}$cos$\frac{C}{2}$
• C． sin$\frac{A}{2}$cos$\frac{B}{2}$cos$\frac{C}{2}$
• D． sin$\frac{A}{2}$sin$\frac{B}{2}$cos$\frac{C}{2}$

Answer 1

分析 用三角形的三邊及兩個(gè)圓的半徑分別表示出三角形面積，建立等式，利用和差化積公式，倍角公式，正弦定理化簡(jiǎn)即可得解．

解答 解：∵sinA+sinB+sinC
=sinA+sinB+sin（A+B）
=2sin$\frac{A+B}{2}$cos$\frac{A-B}{2}$+2sin$\frac{A+B}{2}$cos$\frac{A+B}{2}$，
=2sin$\frac{A+B}{2}$（cos$\frac{A-B}{2}$+cos$\frac{A+B}{2}$）
=4cos$\frac{A}{2}$cos$\frac{B}{2}$cos$\frac{C}{2}$，
∵由正弦定理可知：sinC=$\frac{c}{2R}$，（R為外接圓的半徑）
∴再由三角形的面積公式S=$\frac{1}{2}$absinC，將sinC=$\frac{c}{2R}$代入，于是可得：S_△ABC=$\frac{abc}{4R}$，
∵由于內(nèi)心到三角形三邊的距離都是r，且內(nèi)心分此三角形成邊長(zhǎng)分別為a、b、c高都是r的三個(gè)三角形，
∴S_△ABC=$\frac{（a+b+c）r}{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{（a+b+c）r}{2}=\frac{abc}{4R}$，
∴$\frac{r}{4R}$=$\frac{abc}{8{R}^{2}（a+b+c）}$=$\frac{c•sinAsinB}{2（a+b+c）}$=$\frac{sinAsinBsinC}{2（sinA+sinB+sinC）}$=$\frac{8sin\frac{A}{2}cos\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}cos\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}cos\frac{C}{2}}{8cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}}$=sin$\frac{A}{2}$sin$\frac{B}{2}$sin$\frac{C}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，三角形面積公式，三角形內(nèi)心的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，和差化積公式，倍角公式等知識(shí)的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，技巧性較強(qiáng)，屬于難題．