Question

17．定義：若對(duì)于平面點(diǎn)集A中的任意一個(gè)點(diǎn)（x₀，y₀），總存在正實(shí)數(shù)r，使得集合{（x，y）|$\sqrt{（x-{x}_{0}）^{2}+（y-{y}_{0}）^{2}}$＜r}⊆A，則稱A為一個(gè)開集，給出下列集合：
①{（x，y）|x²+y²＜1}；     ②{（x，y）|x+y≥2}；
③{（x，y）||x+y|≤5}；    ④{（x，y）|$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1}．
其中為開集的是①．（寫出所有符合條件的序號(hào)）．

Answer 1

分析 弄清開集的定義是解決本題的關(guān)鍵．即所選的集合需要滿足存在以該集合內(nèi)任意點(diǎn)為圓心，任意正實(shí)數(shù)為半徑的圓內(nèi)部分均在該集合內(nèi)．初步確定該集合不含邊界．

解答 解：由題意，所選的集合需要滿足存在以該集合內(nèi)任意點(diǎn)為圓心，任意正實(shí)數(shù)為半徑的圓內(nèi)部分均在該集合內(nèi)，且該集合不含邊界．
對(duì)于①，只要半徑足夠小即可，故①是開集；
對(duì)于②③④，含邊界，不是開集．
故答案為：①．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于集合的新定義型問題，考查學(xué)生即時(shí)掌握信息，解決問題的能力．正確理解好集的定義是解決本題的關(guān)鍵．