Question

12．已知F₁，F(xiàn)₂為雙曲線C的左右焦點(diǎn)，過F₁的直線分別交C的左右兩支于A，B兩點(diǎn)，若△AF₂B為等腰直角三角形，且∠AF₂B=90°，那么C的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根據(jù)題設(shè)條件，利用雙曲線的定義，推導(dǎo)出|BF₁|=（2$\sqrt{2}$+2）a，|BF₂|=2$\sqrt{2}$a，再利用余弦定理確定a和c的關(guān)系式，由此能求出結(jié)果．

解答 解：∵過F₁的直線l與雙曲線的左支相交于A、B兩點(diǎn)，△AF₂B為等腰直角三角形，且∠AF₂B=90°，
∴設(shè)|BF₂|=|AF₂|=x，
∴|AF₁|=x-2a，
∴|BF₁|=x-2a+$\sqrt{2}$x，
∴|BF₁|-|BF₂|=-2a+$\sqrt{2}$x=2a，∴x=2$\sqrt{2}$a
∴|BF₁|=（2$\sqrt{2}$+2）a，|BF₂|=2$\sqrt{2}$a
由余弦定理可得4c²=[（2$\sqrt{2}$+2）a]²+（2$\sqrt{2}$a）²-2×[（2$\sqrt{2}$+2）a]×2$\sqrt{2}$a×$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴c²=3a²，
∴e=$\sqrt{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的平方的求法，解題時(shí)要熟練掌握雙曲線的性質(zhì)，注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用．