Question

2．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S_n+a_n=2．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求滿足不等式${a_1}+{a_2}+…+{a_n}＞\frac{63}{32}$的n的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）利用遞推關(guān)系即可得出；
（II）利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵滿足S_n+a_n=2．
n=1時，a₁=1，
當(dāng)n≥2時，S_n-1+a_n-1=2，
∴S_n+a_n-S_n-1-a_n-1=0⇒2a_n=a_n-1，
∵a₁=1≠0，
∴${a_n}={（\frac{1}{2}）^{n-1}}$．
（Ⅱ）∵${a_1}+{a_2}+…+{a_n}＞\frac{63}{32}$，
∴$1+{（\frac{1}{2}）^1}+{（\frac{1}{2}）^2}+…+{（\frac{1}{2}）^{n-1}}＞\frac{63}{32}$，
∴$2-{（\frac{1}{2}）^n}＞\frac{63}{32}⇒{（\frac{1}{2}）^n}＜\frac{1}{32}$，
∴n＞6，n∈N^*．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的前n項和公式、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．