Question

1．（1）數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$，前n項和為9，求n；
（2）數(shù)列{a_n}的通項為a_n=（n+$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{{2}^{n}}$，求S_n．

Answer 1

分析 （1）化簡a_n=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$，從而利用裂項求和法求其前n項和，從而解方程即可；
（2）由a_n=（n+$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{{2}^{n}}$，分等差數(shù)列與等比數(shù)列求其前n項和．

解答 解：（1）∵a_n=$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$，
∴S_n=（$\sqrt{2}$-1）+（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）+（2-$\sqrt{3}$）+…+（$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$）
=$\sqrt{n+1}$-1=9，
故n+1=100，
故n=99；
（2）∵a_n=（n+$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴S_n=[（1+$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{2}$]+[（2+$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{4}$]+[（3+$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{8}$]+…+[（n+$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{{2}^{n}}$]
=[（1+$\frac{1}{2}$）+（2+$\frac{1}{2}$）+（3+$\frac{1}{2}$）+…+（n+$\frac{1}{2}$）]+（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）
=$\frac{1+\frac{1}{2}+n+\frac{1}{2}}{2}$×n+$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$
=$\frac{{n}^{2}+2n}{2}$+1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

點評 本題考查了裂項求和法的應(yīng)用及分類求和法的應(yīng)用，同時考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的求和公式的應(yīng)用．