Question

6．（文科）四棱鏡P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，2AD=AB=BC=2a，AD∥BC，PD=$\sqrt{3}$a，∠DAB=60°，Q是PB的中點．
（Ⅰ）若平面PAD∩平面PBC=l，求證：l∥BC；
（Ⅱ）求證：DQ⊥PC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由AD∥BC，得BC∥平面PAD，由此能證明l∥BC．
（Ⅱ）連結(jié)BD，由余弦定理，得BD=$\sqrt{3}a$，從而BD⊥AD，BC⊥PD，進而BC⊥平面PBD，平面PBD⊥平面PBC，再由DQ⊥PB，得DQ⊥平面PBC，由此能證明DQ⊥PC．

解答 證明：（Ⅰ）∵AD∥BC，AD?平面PAD，BC?平面PAD
∴BC∥平面PAD，
又平面PBC過BC，且與平面PAD交于l，
∴l(xiāng)∥BC．
（Ⅱ）連結(jié)BD，△ABD中，AD=a，AB=2a，∠DAB=60°，
由余弦定理，得：
BD²=DA²+AB²-2DA•ABcos60°，
解得BD=$\sqrt{3}a$，
∵AB²=AD²+BD²，∴△ABD為直角三角形，BD⊥AD，
∵AD∥BC，∴BC⊥PD，
∵PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD，
∵BC?平面PBC，∴平面PBD⊥平面PBC，
又∵PD=BD=$\sqrt{3}a$，Q為PB中點，∴DQ⊥PB，
∵平面PBD∩平面PBC=PB，∴DQ⊥平面PBC，
∵PC?平面PBC，
∴DQ⊥PC．

點評 本題考查線面平行的證明，考查線線垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．