Question

3．設(shè)數(shù)列{a_n}和{b_n}的項(xiàng)數(shù)均為m，則將數(shù)列{a_n}和{b_n}的距離定義為$\sum_{i=1}^{n}$|a_i-b_i|．
（1）給出數(shù)列1，3，5，6和數(shù)列2，3，10，7的距離；
（2）設(shè)A為滿足遞推關(guān)系a_n+1=$\frac{1+{a}_{n}}{1-{a}_{n}}$的所有數(shù)列{a_n}的集合，{b_n}和{c_n}為A中的兩個(gè)元素，且項(xiàng)數(shù)均為m，若b₁=2，c₁=3，{b_n}和{c_n}的距離小于2016，求m的最大值；
（3）記S是所有7項(xiàng)數(shù)列{a_n|1≤n≤7，a_n=0或1}的集合，T⊆S，且T中任何兩個(gè)元素的距離大于或等于3，證明：T中的元素個(gè)數(shù)小于或等于16．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列距離的定義即可求得數(shù)列1，3，5，6和數(shù)列2，3，10，7的距離；
（2）由數(shù)列的遞推公式，即可求得a，a₃，a₄，a₅，求得A中數(shù)列的項(xiàng)周期性重復(fù)，且間隔4項(xiàng)重復(fù)一次，求得數(shù)列{b_n}和{c_n}規(guī)律，可知隨著項(xiàng)數(shù)m越大，數(shù)列{b_n}和{c_n}的距離越大，由$\sum_{i=1}^{4}$=b_i-c_i|=$\frac{7}{3}$，根據(jù)周期的定義，得$\sum_{i=1}^{3456}$|b_i-c_i|=$\sum_{i=1}^{4×864}$|b_i-c_i|=$\frac{7}{3}$×864=2016，求得m的最大值；
（3）利用反證法，假設(shè)T中的元素個(gè)數(shù)大于等于17個(gè)，設(shè)出{c_n}，{d_n}，{f_n}，最總求得$\sum_{i=1}^{7}$|f_i-c_i|≤2和$\sum_{i=1}^{7}$|f_i-d_i|≤2中必有一個(gè)成立，與數(shù)列的距離大于或等于3矛盾，故可證明T中的元素個(gè)數(shù)小于或等于16．

解答 解：（1）由題意可知，數(shù)列1，3，5，6和數(shù)列2，3，10，7的距離為1+0+5+1=7，
（2）設(shè)a₁=p，其中p≠0，且p≠±1，
由a_n+1=$\frac{1+{a}_{n}}{1-{a}_{n}}$，得a₂=$\frac{1+p}{1-p}$，a₃=-$\frac{1}{p}$，a₄=$\frac{p-1}{p+1}$，a₅=p，
∴a₁=a₅，
因此A中數(shù)列的項(xiàng)周期性重復(fù)，且間隔4項(xiàng)重復(fù)一次，
所數(shù)列{b_n}中，b_4k-3=2，b_4k-2=-3，b_4k-1=-$\frac{1}{2}$，b_4k=$\frac{1}{3}$，k∈N^*，
所以{c_n}中，b_4k-3=3，b_4k-2=-2，b_4k-1=-$\frac{1}{3}$，b_4k=$\frac{1}{2}$，k∈N^*，
$\sum_{i=1}^{k+1}$|b_i-c_i|≥$\sum_{i+1}^{k}$|b_i-c_i|，得項(xiàng)數(shù)m越大，數(shù)列{b_n}和{c_n}的距離越大，
由$\sum_{i=1}^{4}$=b_i-c_i|=$\frac{7}{3}$，
得$\sum_{i=1}^{3456}$|b_i-c_i|=$\sum_{i=1}^{4×864}$|b_i-c_i|=$\frac{7}{3}$×864=2016，
所以m＜3456時(shí)，$\sum_{i=1}^{m}$|b_i-c_i|＜2016，
故m的最大值為3455，
（3）證明：假設(shè)T中的元素個(gè)數(shù)大于等于17個(gè)，
因?yàn)閿?shù)列{a_n}中，a_i=0或1，
所以僅由數(shù)列前三項(xiàng)組成的數(shù)組（a₁，a₂，a₃）有且僅有8個(gè)，（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，1，0），
（1，0，1），（0，1，1），（1，1，1），
那么這17個(gè)元素（即數(shù)列）之中必有三個(gè)具有相同的a₁，a₂，a₃，
設(shè)這個(gè)數(shù)列分別為{c_n}：c₁，c₂，c₃，c₄，c₅，c₆，c₇，{d_n}：d₁，d₂，d₃，d₄，d₅，d₆，d₇，{f_n}：f₁，f₂，f₃，f₄，f₅，f₆，f₇，
其中c₁=d₁=f₁，c₂=d₂=f₂，c₃=d₃=f₃，
因?yàn)檫@三個(gè)數(shù)列中每?jī)蓚�(gè)的距離大于等于3，
所以，{b_n}和{c_n}中，c_i=d_i，（i=4，5，6，7）中至少有三個(gè)成立，
不妨設(shè)c₄≠d₄，c₅≠d₅，c₆≠d₆，
由題意，c₄和d₄中一個(gè)等于0，而另一個(gè)等于1，
又因?yàn)閒₄=0或1，
所以f₄=c₄和f₄=d₄中必有一個(gè)成立，
同理，得f₅=c₅和f₅=d₅中必有一個(gè)成立，f₆=c₆和f₆=d₆中必有一個(gè)成立，
所以“f_i=c_i（i=3，4，5）中至少有兩個(gè)成立”或”f_i=d_i（i=4，5，6）中至少有兩個(gè)成立“中必有一個(gè)成立，
所以$\sum_{i=1}^{7}$|f_i-c_i|≤2和$\sum_{i=1}^{7}$|f_i-d_i|≤2中必有一個(gè)成立．
與題意矛盾，
∴T中的元素個(gè)數(shù)小于或等于16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的新定義，求數(shù)列的周期，考查反證法的應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確理解新定義是關(guān)鍵，屬于難題．