Question

8．已知，如圖，正方形ABCD的邊長為6，菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E，G，H分別在正方形ABCD邊AB，CD，DA上，AH=2，連接CF．
（1）當(dāng)DG=2時(shí)，求證：∠EHG=90°；
（2）在（1）的條件下，求△FCG的面積；
（3）設(shè)DG=x，用含x的代數(shù)式表示△FCG的面積．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理可知HG=$2\sqrt{5}$，通過Rt△AHE≌Rt△DGH，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過作FM⊥DC，M為垂足，連結(jié)GE，利用Rt△DGH≌Rt△CFG，計(jì)算即得結(jié)論；
（3）通過兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等可知∠AEH=∠MGF，利用△AHE≌△MFG可知點(diǎn)F到直線CD的距離為定值2，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵在正方形ABCD中，AH=2，
∴DH=4，
又∵DG=2，
∴HG=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=$2\sqrt{5}$，
∴菱形EFGH的邊長為$2\sqrt{5}$，
易知Rt△AHE≌Rt△DGH，
∴∠DGH+∠AHE=90°，
∴∠EHG=90°；
（2）解：作FM⊥DC，M為垂足，連結(jié)GE，
易知Rt△DGH≌Rt△CFG，從而CF=2，
∴S_△FCG=$\frac{1}{2}×4×2$=4；
（3）解：連結(jié)GE，
∵AB∥CD，∴∠AEG=∠MGE，
∵HE∥GH，∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠MGF，
在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°，HE=FG，
∴△AHE≌△MFG，
∴FM=HA=2，即無論菱形EFGH如何變化，點(diǎn)F到直線CD的距離為定值2，
∴S_△FCG=$\frac{1}{2}$×2×（6-x）=6-x．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查分析問題的、解決問題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．