Question

8．已知函數(shù)y=2sinxcosx-sinx+cosx（0≤x≤π）．
（1）令t=sinx-cosx，用t表示y；
（2）已知t=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$），求t的取值范圍，并分別求出y的最大值，最小值．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用兩角差的正弦公式，結(jié)合x的范圍，可得t的范圍，再由平方可得2sinxcosx，即可得到y(tǒng)的解析式；
（2）由x的范圍，可得t的范圍，再由配方法，結(jié)合二次函數(shù)的最值的求法，可得最值．

解答 解：（1）令t=sinx-cosx=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$），
由0≤x≤π可得-$\frac{π}{4}$≤x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{4}$，
即有-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sin（x-$\frac{π}{4}$）≤1．
則-1≤t≤$\sqrt{2}$．
由t²=sin²x+cos²x-2sinxcosx=1-2sinxcosx，
可得2sinxcosx=1-t²，
則有y=1-t²-t（-1≤t≤$\sqrt{2}$）；
（2）t=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$），
由0≤x≤π可得-$\frac{π}{4}$≤x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{4}$，
即有-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sin（x-$\frac{π}{4}$）≤1．
則-1≤t≤$\sqrt{2}$．
由y=1-t²-t=-（t+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$，
當(dāng)t=-$\frac{1}{2}$時(shí)，y取得最大值，且為$\frac{5}{4}$，
當(dāng)t=-1時(shí)，y=1；當(dāng)t=$\sqrt{2}$時(shí)，y=-1-$\sqrt{2}$，
即有y的最小值為-1-$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)的最值的求法，考查同角的平方公式和二倍角公式及兩角差的正弦公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．