Question

6．已知{a_n}是公差不為零的等差數(shù)列，a₁=2，且a₂，a₄，a₈成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n•${3}^{{a}_{n}}$}的前n項和．

Answer 1

分析 （I）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（II）利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d≠0，∵a₁=2，且a₂，a₄，a₈成等比數(shù)列．
∴${a}_{4}^{2}$=a₂a₈，即（2+3d）²=（2+d）（2+7d），
化為：d²-2d=0，d≠0，
解得d=2．
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
（II）a_n•${3}^{{a}_{n}}$=2n•3²ⁿ=2n•9ⁿ．
數(shù)列{a_n•${3}^{{a}_{n}}$}的前n項和S_n=2（9+2×9²+3×9³+…+n•9ⁿ）．
∴9S_n=2[9²+2×9³+…+（n-1）×9ⁿ+n×9ⁿ⁺¹]，
∴-8S_n=2（9+9²+…+9ⁿ-n×9ⁿ⁺¹）=2×$（\frac{9（{9}^{n}-1）}{9-1}-n×{9}^{n+1}）$，
可得S_n=$\frac{9}{32}$+$\frac{8n-1}{32}×{9}^{n+1}$．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．