Question

16．已知點A，B是圓O：x²+y²=36上的動點，函數(shù)y=log_a（x-3）（a＞0且a≠1）的圖象恒過點P，若|$\overrightarrow{PA}$$+\overrightarrow{PB}$|=|$\overrightarrow{PA}$-$\overrightarrow{PB}$|，則平行四邊形APBQ的頂點Q的軌跡方程為（　�。�

• A． x²-y²=1
• B． x²+y²=56
• C． x²+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1
• D． y²=4x

Answer 1

分析 設出AB的中點R的坐標、Q的坐標，根據(jù)矩形的性質(zhì)得|AR|=|PR|，利用兩點間的距離公式列出方程，再由R是PQ的中點，利用中點坐標公式建立Q、R兩點坐標的關系，代入方程化簡即可．

解答 解：如圖示：

函數(shù)y=log_a（x-3）（a＞0且a≠1）的圖象橫過點P，則P（4，0），
設AB的中點為R，則R也是PQ的中點，設R的坐標為（x₁，y₁），
若|$\overrightarrow{PA}$$+\overrightarrow{PB}$|=|$\overrightarrow{PA}$-$\overrightarrow{PB}$|，則∠APB=90°，
因為R是弦AB的中點，所以依垂徑定理：在Rt△OAR中，|AR|²=|AO|²-|OR|²=36-（${{x}_{1}}^{2}$+${{y}_{1}}^{2}$），
因為∠APB=90°，所以|AR|=|PR|=${{（x}_{1}-4）}^{2}$+${{y}_{1}}^{2}$，
所以（x₁-4）2+${{y}_{1}}^{2}$=36-（${{x}_{1}}^{2}$+${{y}_{1}}^{2}$），化簡得${{x}_{1}}^{2}$+${{y}_{1}}^{2}$-4x₁-10=0，
設Q（x，y），因為R是PQ的中點，所以 $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{x+4}{2}}\\{{y}_{1}=\frac{y}{2}}\end{array}\right.$，
代入上式得，（$\frac{x+4}{2}$）²+${（\frac{y}{4}）}^{2}$-4×$\frac{x+4}{2}$-10=0，化簡得x²+y²=56，
所求的Q點的軌跡方程是x²+y²=56，
故選：B．

點評 本題主要考查利用“相關點代入法”求曲線的軌跡方程，利用平面幾何的基本知識和兩點間的距離公式建立線段AB中點R的軌跡方程．欲求Q的軌跡方程，應先求R的軌跡方程，若學生思考不深刻，發(fā)現(xiàn)不了問題的實質(zhì)，很難解決此題，屬于難題．