Question

3．已知a∈R，函數(shù)f（x）=x²-2ax+5
（1）若不等式f（x）＞0對(duì)任意x∈（0，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若a＞1，且函數(shù)f（x）的定義域和值域均為[1，a]，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）結(jié)合根與系數(shù)得關(guān)系對(duì)△進(jìn)行分情況討論，列出不都是解出；
（2）判斷出f（x）的單調(diào)性，利用單調(diào)性列方程解出．

解答 解：（1）①若△=4a²-20＜0，即-$\sqrt{5}$＜a$＜\sqrt{5}$時(shí)，f（x）＞0恒成立，符合題意，
②若△=4a²-20=0，即a=$±\sqrt{5}$時(shí)，f（x）=0的解為x=a，
∵不等式f（x）＞0對(duì)任意x∈（0，+∞）恒成立，∴a=-$\sqrt{5}$．
②如△=4a²-20＞0，即a$＜-\sqrt{5}$或a$＞\sqrt{5}$時(shí)，設(shè)f（x）=0的兩根為x₁，x₂，則x₁x₂=5＞0，
∵f（x）＞0對(duì)任意x∈（0，+∞）恒成立，
∴f（x）=0有兩個(gè)負(fù)根，∴x₁+x₂=2a＜0，∴a＜$-\sqrt{5}$．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，$\sqrt{5}$）．
（2）∵f（x）的圖象開口向上，對(duì)稱軸為x=a，
∴f（x）在[1，a]上單調(diào)遞減，∴f（1）=a，即6-2a=a，解得a=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用，是中檔題．