Question

15．已知定義域為R的函數(shù)f（x），對于x∈R，滿足f[f（x）-x²+x]=f（x）-x²+x，設有且僅有一個實數(shù)x₀，使得f（x₀）=x₀，則實數(shù)x₀的值為（　　）

• A． .0
• B． .1
• C． 0或1
• D． .無法確定

Answer 1

分析 因為對任意x∈R，有f（f（x）-x²+x）=f（x）-x²+x．又因為有且只有一個實數(shù)x₀，使得f（x₀）=x₀，所以對任意x∈R，有f（x）-x²+x=x₀，因為f（x₀）=x₀，所以x₀-x₀²=0，故x₀=0或x₀=1．再驗證，即可得出結論．

解答 解：因為對任意x∈R，有f（f（x）-x²+x）=f（x）-x²+x．
又因為有且只有一個實數(shù)x₀，使得f（x₀）=x₀
所以對任意x∈R，有f（x）-x²+x=x₀
在上式中令x=x₀，有f（x₀）-x₀²+x₀=x₀
又因為f（x₀）=x₀，所以x₀-x₀²=0，故x₀=0或x₀=1
若x₀=0，則f（x）-x²+x=0，即f（x）=x²-x
但方程x²-x=x有兩個不相同實根，與題設條件矛盾．故x₀≠0
若x₀=1，則有f（x）-x²+x=1，即f（x）=x²-x+1，此時f（x）=x有且僅有一個實數(shù)1，
綜上，x₀=1．
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)的解析式的求法，考查函數(shù)的單調性，考查運算能力和推理能力，屬于中檔題．