Question

9．如圖，圓O的直徑AB=10，P是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BP=2，割線PCD交圓O于點(diǎn)C，D，過(guò)點(diǎn)P作AP的垂線，交直線AC于點(diǎn)E，交直線AD于點(diǎn)F．
（Ⅰ）當(dāng)∠PEC=75°時(shí)，求∠PDF的度數(shù)；
（Ⅱ）求PE•PF的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)BD，則∠BDA=90°，利用∠CDB=∠CAB，即可證明結(jié)論；
（Ⅱ）利用割線定理，即可求出PE•PF的值．

解答 解：（Ⅰ）連結(jié)BD，則∠BDA=90°…（1分）
∵∠CDB=∠CAB…（2分）
∠PEC=90°-∠CAB，…（3分）
∠PDF=90°-∠CDB…（4分）
∴∠PEC=∠PDF=75°；      （5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：∠PEC=∠PDF，
∴D，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，…（7分）
∵AB=10，P是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BP=2，
∴PE•PF=PC•PD=PB•PA=2×12=24．（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查四點(diǎn)共圓是證明，考查割線定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．