Question

1．已知函數(shù)f（x）=ax-ln（-x），x∈[-e，0），其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=-1時，確定f（x）的單調(diào)性和極值；
（Ⅱ）當(dāng)a=-1時，證明：f（x）+$\frac{ln（-x）}{x}$＞$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由a=-1知，f（x）是確定的．對f（x）求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)可以得到原函數(shù)的極值與單調(diào)區(qū)間．
（2）構(gòu)造新的函數(shù)g（x），通過對g（x）求導(dǎo)，得到g（x）的單調(diào)區(qū)間，從而求出g（x）的最大值，進(jìn)而得到要證明的問題．

解答 解：（1）當(dāng)a=-1時，f（x）=-x-ln（-x）
f′（x）=-1-$\frac{1}{x}$
令f′（x）=0，得x=-1
-e≤x＜-1時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減
-1＜x＜0時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增
∴f（x）單調(diào)遞減區(qū)間是[-e，-1），單調(diào)遞增區(qū)間是（-1，0）
f（x）有極小值，極小值是f（-1）=1．
（2）當(dāng)a=-1時，由（1）知，f（x）的最小值為f（-1）=1
令g（x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{ln（-x）}{x}$
∴g′（x）=-$\frac{1-ln（-x）}{{x}^{2}}$
當(dāng)x∈[-e，0）時，g′（x）＜0
∴g（x）在[-e，0）上單調(diào)遞減
∴g（x）的最大值為g（-e）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{e}$
∴f（x）_min＞g（x）_max
∴當(dāng)a=-1時，f（x）+$\frac{ln（-x）}{x}$＞$\frac{1}{2}$恒成立．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性，極值問題．考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．是中檔題．