Question

16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若曲線y=2x²+$\frac{a}{x}$（a是常數(shù)）過點P（-1，-30），則函數(shù)y=2x²+$\frac{a}{x}$在區(qū)間[1，4]的最大值與最小值的和為64．

Answer 1

分析 由題意可得2-a=-30，解得a，再求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間、極值可得最小值，再計算端點的函數(shù)值，可得最大值，進而得到所求和．

解答 解：由題意可得2-a=-30，
解得a=32，
則y=2x²+$\frac{32}{x}$導(dǎo)數(shù)為y′=4x-$\frac{32}{{x}^{2}}$，
由2＜x＜4，可得y′＞0，函數(shù)遞增，
1＜x＜2時，可得y′＜0，函數(shù)遞減．
即有x=2處取得極小值，也為最小值24，
x=1時，y=34；x=4時，y=40．
即有函數(shù)的最大值為40，
則最值之和為64．
故答案為：64．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運用導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查運算能力，屬于中檔題．