Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx-ax+1，x≥a}\\{{e}^{x-1}+（a-2）x，x＜a}\end{array}\right.$，其中a＞0，a∈R．
（1）若a=1，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)a＞1時，求函數(shù)f（x）零點(diǎn)的個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）將a=1代入，求出函數(shù)的解析式，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)法，可判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合a＞1，分別判斷兩段函數(shù)函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)，綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：（1）若a=1，則f（x）=$\left\{\begin{array}{l}lnx-x+1，x≥1\\{e}^{x-1}-x，x＜1\end{array}\right.$，
∴f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}-1，x≥1\\{e}^{x-1}-1，x＜1\end{array}\right.$，
故當(dāng)x≥1時，f′（x）≤0，x＜1時，f′（x）＜0，
又由當(dāng)x=1時，ln1-1+1=e^1-1-1，
故函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)；
（2）∵函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx-ax+1，x≥a}\\{{e}^{x-1}+（a-2）x，x＜a}\end{array}\right.$，
∴f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}-a，x≥a\\{e}^{x-1}+a-2，x＜a\end{array}\right.$，
∵a＞1，
∴當(dāng)x≥a時，f′（x）＜0，此時函數(shù)為減函數(shù)，由f（a）=lna-a²+1＜ln1-1+1=0，此時函數(shù)無零點(diǎn)，
當(dāng)x＜a時，若a≥2，則f′（x）＞0恒成立，此時函數(shù)為增函數(shù)，由f（a）=e^a-1+a²-2a＞0，此時函數(shù)有一個零點(diǎn)，
若1＜a＜2，當(dāng)x＜ln（2-a）+1時，f′（x）＜0，ln（2-a）+1＜x＜a時，f′（x）＞0，
f（ln（2-a）+1）=（a-2）ln（2-a）＞0，f（a）=e^a-1+（a-2）a＞0，此時函數(shù)有一個零點(diǎn)，
綜上所述，當(dāng)a＞1時，函數(shù)f（x）有且只有一個零點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)法確定函數(shù)的單調(diào)性，難度中檔．