Question

5．已知x＞0，y＞0且lg（x²+y²-4）≤0，則|2x+y-10|的取值范圍是[5，8）．

Answer 1

分析 由題意可得點(diǎn)（x，y）表示圓環(huán)在第一象限的部分（如圖陰影），令t=2x+y-10，則y=-2x+t+10，即t+10表示直線(xiàn)的截距，數(shù)形結(jié)合可得．

解答 解：∵x＞0，y＞0且lg（x²+y²-4）≤0，
∴0＜x²+y²-4≤1，即4＜x²+y²≤5（x＞0，y＞0），
故點(diǎn)（x，y）表示圓環(huán)在第一象限的部分（如圖陰影），
令t=2x+y-10，則y=-2x+t+10，即t+10表示直線(xiàn)的截距，
數(shù)形結(jié)合可得當(dāng)直線(xiàn)y=-2x經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，2）時(shí)t+10取最小值2，此時(shí)t=-8，
當(dāng)直線(xiàn)y=-2x與圓x²+y²=5相切時(shí)t+10取最大值5，此時(shí)t=-5，
故t的取值范圍為（-8，-5]，故|2x+y-10|的取值范圍為[5，8），
故答案為：[5，8）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查式子的取值范圍，數(shù)形結(jié)合是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．