Question

3．近年來(lái)空氣污染是一個(gè)生活中重要的話題，PM2.5就是其中一個(gè)重要指標(biāo)．各省、市、縣均要進(jìn)行實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)，某市2015年11月的PM2.5濃度統(tǒng)計(jì)如圖所示．

日期	PM2.5濃度	日期	PM2.5濃度	日期	PM2.5濃度
11-1	137	11-11	144	11-21	40
11-2	143	11-12	166	11-22	42
11-3	145	11-13	197	11-23	35
11-4	193	11-14	194	11-24	53
11-5	133	11-15	219	11-25	88
11-6	22	11-16	41	11-26	29
11-7	22	11-17	90	11-27	199
11-8	57	11-18	46	11-28	287
11-9	111	11-19	80	11-29	291
11-10	134	11-20	67	11-30	452

（1）請(qǐng)完成頻率分布表；

空氣質(zhì)量指數(shù)類(lèi)別	PM2.5 24小時(shí)濃度均值	頻數(shù)	頻率
優(yōu)	0-35	4	$\frac{2}{15}$
良	36-75	7	$\frac{7}{30}$
輕度污染	76-115	4
中度污染	116-150	6
重度污染	151-250
嚴(yán)重污染	251-500
合計(jì)	/	30	1

（2）專(zhuān)家建議，空氣質(zhì)量為優(yōu)、良、輕度污染時(shí)可正常進(jìn)行戶外活動(dòng)，中度污染及以上時(shí)，取消一切戶外活動(dòng)，在2015年11月份，該市某學(xué)校進(jìn)行了連續(xù)兩天的戶外拔河比賽，求拔河比賽能正常進(jìn)行的概率．
（3）PM2.5濃度在75以上，空氣質(zhì)量為超標(biāo)，陶先生在2015年11月份期間曾有兩天經(jīng)過(guò)該市，記ξ表示兩天中PM2.5檢測(cè)數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，求ξ的分布列及期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知條件能求出頻率分布表．
（Ⅱ） 學(xué)校進(jìn)行了連續(xù)兩天的戶外拔河比賽，要能正常進(jìn)行，利用列舉法求出需選擇的日期，由此能求出拔河比賽能正常進(jìn)行的概率．
（Ⅲ）ξ的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列及期望．

解答 解：（Ⅰ）由已知條件能求出頻率分布表：

空氣質(zhì)量指數(shù)類(lèi)別	PM2.5 24小時(shí)濃度均值	頻數(shù)	頻率
優(yōu)	0-35	4	$\frac{2}{15}$
良	36-75	7	$\frac{7}{30}$
輕度污染	76-115	4	$\frac{2}{15}$
中度污染	116-150	6	$\frac{1}{5}$
重度污染	151-250	6	$\frac{1}{5}$
嚴(yán)重污染	251-500	3	$\frac{1}{10}$
合計(jì)		30	1

…（3分）
（Ⅱ） 學(xué)校進(jìn)行了連續(xù)兩天的戶外拔河比賽，要能正常進(jìn)行，需選擇的日期為：
（6，7）（7，8）（8，9）（16，17）（17，18）（18，19）（19，20）（20，21）（21，22）（22，23）（23，24）（24，25）（25，26），
所以拔河比賽能正常進(jìn)行的概率為$\frac{13}{29}$．     …（6分）
（Ⅲ）ξ的可能取值為0，1，2，
$P（ξ=0）=\frac{{C_{11}^2}}{{C_{30}^2}}=\frac{11}{87}$，
$P（ξ=1）=\frac{{C_{11}^1C_{19}^1}}{{C_{30}^2}}=\frac{209}{435}$，
$P（ξ=2）=\frac{{C_{19}^2}}{{C_{30}^2}}=\frac{57}{145}$…（9分）
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	$\frac{11}{87}$	$\frac{209}{435}$	$\frac{57}{145}$

…（10分）
$Eξ=\frac{11}{87}×0+\frac{209}{435}×1+\frac{57}{145}×2=\frac{551}{435}=\frac{19}{15}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意列舉法的合理運(yùn)用．