Question

1．已知函數(shù)f（x）=log₉（9^x+1）+kx（k∈R）是偶函數(shù)．
（1）求k的值；
（2）若方程f（x）=$\frac{1}{2}$x+b有實(shí)數(shù)根，求b的取值范圍；
（3）設(shè)h（x）=log₉（a•3^x-$\frac{4}{3}$a），若函數(shù)f（x）與h（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用偶函數(shù)的性質(zhì)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出；
（2）由題意知方程log₉（9^x+1）-$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{2}$x+b有實(shí)數(shù)根，即方程log₉（9^x+1）-x=b有解．令g（x）=log₉（9^x+1）-x，則函數(shù)y=g（x）的圖象與直線(xiàn)y=b有交點(diǎn)．再利用函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
（3）由題意知方程${3}^{x}+\frac{1}{{3}^{x}}$=a•3^x-$\frac{4}{3}a$有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根．令3^x=t＞0，則關(guān)于t的方程（a-1）t²-$\frac{4}{3}at$-1=0，（記為（*））有且只有一個(gè)正根．對(duì)a與△分類(lèi)討論即可得出．

解答 解：（1）∵y=f（x）為偶函數(shù)，∴?x∈R，則f（-x）=f（x），
即 $lo{g}_{9}（{9}^{-x}+1）$-kx=log₉（9^x+1）+kx（k∈R），對(duì)于?x∈R恒成立．
于是2kx=$lo{g}_{9}（{9}^{-x}+1）$-log₉（9^x+1）=$lo{g}_{9}\frac{{9}^{x}+1}{{9}^{x}}$-$lo{g}_{9}（{9}^{x}+1）$=-x恒成立，
而x不恒為零，∴k=-$\frac{1}{2}$．
（2）由題意知方程log₉（9^x+1）-$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{2}$x+b有實(shí)數(shù)根，
即方程log₉（9^x+1）-x=b有解．
令g（x）=log₉（9^x+1）-x，則函數(shù)y=g（x）的圖象與直線(xiàn)y=b有交點(diǎn)．
∵g（x）=$lo{g}_{9}\frac{{9}^{x}+1}{{9}^{x}}$=$lo{g}_{9}（1+\frac{1}{{9}^{x}}）$，
任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，則$0＜{9}^{{x}_{1}}＜{9}^{{x}_{2}}$，從而$\frac{1}{{9}^{{x}_{2}}}＜\frac{1}{{9}^{{x}_{1}}}$．
于是$lo{g}_{9}（1+\frac{1}{{9}^{{x}_{1}}}）$＞$lo{g}_{9}（1+\frac{1}{{9}^{{x}_{2}}}）$，即g（x₁）＞g（x₂），
∴g（x）在R上是單調(diào)減函數(shù)．
∵$1+\frac{1}{{9}^{x}}$＞1，
∴g（x）=$lo{g}_{9}（1+\frac{1}{{9}^{x}}）$＞0．
∴b的取值范圍是（0，+∞）．
（3）由題意知方程${3}^{x}+\frac{1}{{3}^{x}}$=a•3^x-$\frac{4}{3}a$有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根．
令3^x=t＞0，則關(guān)于t的方程（a-1）t²-$\frac{4}{3}at$-1=0，（記為（*））有且只有一個(gè)正根．
若a=1，則t=-$\frac{3}{4}$，不合，舍去； 
若a≠1，則方程（*）的兩根異號(hào)或有兩相等正跟．
由△=0，可得a=$\frac{3}{4}$或-3；但a=$\frac{3}{4}$⇒t=-$\frac{1}{2}$，不合，舍去；而a=-3⇒t=$\frac{1}{2}$；
方程（*）的兩根異號(hào)?（a-1）（-1）＜0?a＞1．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是{-3}∪（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)、不等式的解法、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了分類(lèi)討論、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．