Question

12．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分別為正方體ABCD和AA₁B₁B的中心，則直線D₁M與CN的夾角的余弦值為$\frac{1}{6}$

Answer 1

分析 以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線D₁M與CN的夾角的余弦值．

解答 解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，
設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，
則M（1，1，0），N（2，1，1），C（0，2，0），D₁（0，0，2），
∴$\overrightarrow{{D}_{1}M}$=（1，1，-2），$\overrightarrow{CN}$=（2，-1，1），
設直線D₁M與CN的夾角為θ，
cosθ=|cos＜$\overrightarrow{{D}_{1}M}，\overrightarrow{CN}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{{D}_{1}M}•\overrightarrow{CN}}{|\overrightarrow{{D}_{1}M}|•|\overrightarrow{CN}|}$|=|$\frac{2-1-2}{\sqrt{6}•\sqrt{6}}$|=$\frac{1}{6}$．
∴直線D₁M與CN的夾角的余弦值為$\frac{1}{6}$．
故答案為：$\frac{1}{6}$．

點評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．