Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$（a+1）x²+ax+a（其中a＞0）．
（I）若函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）有最小值為0，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）恰有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出a的值，f（0），及f′（0）的值，然后代入點斜式方程即可得到曲線y=f（x）在點（0，f （0））處的切線方程；
（Ⅱ）f′（x）=x²-（a+1）x+a=（x-1）（x-a），分類討論研究f（x）的單調(diào)性極值，函數(shù)f（x）有且僅有一個零點?f（x）_極大值＜0或f（x）_極小值＞0．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$（a+1）x²+ax+a，
∴f′（x）=x²-（a+1）x+a=（x-$\frac{a+1}{2}$）²-$\frac{（a+1）^{2}}{4}$+a
∵函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）有最小值為0，
∴a-$\frac{（a+1）^{2}}{4}$=0，即a=1，
∴f′（0）=1，f（0）=1，
∴切線方程為y-1=1×（x-0），即x-y-1=0；
（Ⅱ）∵函數(shù)f（x）有且僅有一個零點，
∴f（x）_極大值＜0或f（x）_極小值＞0．
∵f′（x）=x²-（a+1）x+a=（x-1）（x-a）
令f′（x）=0，解得x=1，或x=a，
①當a＞1時，
當f′（x）＞0，解的x＜1，或x＞a，函數(shù)單調(diào)遞增，
當f′（x）＞0，解的1＜x＜a，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴當x=1時，函數(shù)有極大值，極大值為f（1）=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2}$（a+1）+a+a=$\frac{3}{2}a$-$\frac{1}{6}$
當x=a時，函數(shù)有極小值，極小值為f（a）=$\frac{1}{3}$a³-$\frac{1}{2}$（a+1）a²+a•a+a=-$\frac{1}{6}$a³+$\frac{1}{2}$a²+a
∴$\frac{3}{2}a$-$\frac{1}{6}$＜0，或-$\frac{1}{6}$a³+$\frac{1}{2}$a²+a＞0，
解的0＜a＜$\frac{1}{9}$，或$\frac{3-\sqrt{33}}{2}$＜a＜$\frac{3+\sqrt{33}}{2}$，
∴1＜a＜$\frac{3+\sqrt{33}}{2}$，
①當0＜a＜1時，
當f′（x）＞0，解的x＜a，或x＞1，函數(shù)單調(diào)遞增，
當f′（x）＞0，解的a＜x＜1，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴當x=1時，函數(shù)有極小值，極小值為f（1）=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2}$（a+1）+a+a=$\frac{3}{2}a$-$\frac{1}{6}$
當x=a時，函數(shù)有極大值，極大值為f（a）=$\frac{1}{3}$a³-$\frac{1}{2}$（a+1）a²+a•a+a=-$\frac{1}{6}$a³+$\frac{1}{2}$a²+a
∴$\frac{3}{2}a$-$\frac{1}{6}$＞0，或-$\frac{1}{6}$a³+$\frac{1}{2}$a²+a＜0，
解的a＞$\frac{1}{9}$，或a＞$\frac{3+\sqrt{33}}{2}$，
∴$\frac{1}{9}$＜a＜1，
③當a=1時，f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+x+1，
∴f′（x）=（x-1）²≥0恒成立，
∴函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
∵f（-1）=-$\frac{1}{3}$-1-1+1＜0，f（0）=1＞0，
∴函數(shù)f（x）恰有一個零點，
綜上所述a的取值范圍為（$\frac{1}{9}$，$\frac{3+\sqrt{33}}{2}$）．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值最值、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，考查了函數(shù)零點與利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值及其圖象的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．