Question

15．已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在[0，+∞）上為增函數(shù)，$f（{\frac{1}{3}}）=0$，則不等式$f（{{{log}_{\frac{1}{3}}}x}）＞0$的解集為{x|x＞$\frac{\root{3}{9}}{3}$或0＜x＜$\root{3}{3}$}．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即可得到不等式的解集．

解答 解：∵偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，$f（{\frac{1}{3}}）=0$，
∴不等式$f（{{{log}_{\frac{1}{3}}}x}）＞0$等價為f（|$lo{g}_{\frac{1}{3}}x$|）＞f（$\frac{1}{3}$），
即|$lo{g}_{\frac{1}{3}}x$|＞$\frac{1}{3}$，
即$lo{g}_{\frac{1}{3}}x$＞$\frac{1}{3}$或$lo{g}_{\frac{1}{3}}x$＜-$\frac{1}{3}$，
即x＞$\frac{\root{3}{9}}{3}$或0＜x＜$\root{3}{3}$，
故不等式的解集為{x|x＞$\frac{\root{3}{9}}{3}$或0＜x＜$\root{3}{3}$}，
故答案為：{x|x＞$\frac{\root{3}{9}}{3}$或0＜x＜$\root{3}{3}$}．

點評 本題主要考查不等式的解法，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，綜合考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用．