Question

10．已知橢圓C方程$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$，設(shè)P為橢圓上任意一點(diǎn)，定點(diǎn)A（0，3），求|PA|的最大值．

Answer 1

分析 設(shè)P（x，y），代入橢圓方程可得x²=16$（1-\frac{{y}^{2}}{4}）$．可得|PA|²=x²+（y-3）²=-3（y+1）²+28，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：設(shè)P（x，y），則$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$，可得x²=16$（1-\frac{{y}^{2}}{4}）$．
∴|PA|²=x²+（y-3）²=16$（1-\frac{{y}^{2}}{4}）$+（y-3）²=-3y²-6y+25=-3（y+1）²+28，
∵-2≤y≤2，
∴y=-1，x=±2$\sqrt{3}$時(shí)，|PA|²取得最大值28，
即|PA|的最大值為2$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性、兩點(diǎn)之間的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．