Question

14．已知F₁、F₂為雙曲線E的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，△F₁F₂M為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$+1
• C． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}+1}{2}$

Answer 1

分析 不妨設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），由題意，∠F₁F₂M=120°，F(xiàn)₁F₂=F₂M=2c，可得M（2c，$\sqrt{3}$c），代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，可得$\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{3{c}^{2}}{^{2}}$=1，即可求出E的離心率．

解答 解：不妨設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
由題意，∠F₁F₂M=120°，F(xiàn)₁F₂=F₂M=2c，
∴M（2c，$\sqrt{3}$c），
代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，可得$\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{3{c}^{2}}{^{2}}$=1，
∴4e⁴-8e²+1=0，
∴e=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，求出M的坐標(biāo)是關(guān)鍵．