Question

16．如圖，三棱柱ABC-A₁BC₁的底面是邊長為2的正三角形，側棱A₁A⊥底面ABC，D為A₁A的中點．
（Ⅰ）求證：平面B₁DC⊥平面B₁BCC₁；
（Ⅱ）若∠B₁DC=90°，求點A到平面B₁DC的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設E、F分別為線段B₁C、BC的中點，連接DE、EF、AF，推導出△A₁B₁D≌△ACD，DA∥EF，由此能證明平面B₁DC⊥平面B₁BCC₁．
（Ⅱ）連接AB₁，設DA=x，A到平面B₁CD的距離為h，由${V}_{{B}_{1}-ABC}={V}_{A-DC{B}_{1}}$，能求出點A到平面B₁CD的距離．

解答 證明：（Ⅰ）設E、F分別為線段B₁C、BC的中點，連接DE、EF、AF，
∵A₁D=AD，∠DAC=∠DA₁B₁，A₁B₁=AC，
∴△A₁B₁D≌△ACD，∴DB₁=DC，∴DE=B₁C，
∵EF∥BB₁，DA∥BB₁，∴DA∥BB₁，
∴DA∥EF，DA=$\frac{1}{2}B{B}_{1}$=EF，
∵B₁C∩EF=E，∴DE⊥平面B₁BCC₁，
∵DE?平面B₁DC，∴平面B₁DC⊥平面B₁BCC₁．
（Ⅱ）連接AB₁，設DA=x，A到平面B₁CD的距離為h，
則DB₁=DC=$\sqrt{{x}^{2}+4}$，B₁C=$\sqrt{4{x}^{2}+4}$，
∵∠B₁DC=90°，∴4x²+4=x²+4+x²+4，
解得$x=\sqrt{2}$，即${B}_{1}B=2\sqrt{2}$，
由${V}_{{B}_{1}-ABC}={V}_{A-DC{B}_{1}}$，得：$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2×\sqrt{3}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\sqrt{6}×h$，
解得h=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴點A到平面B₁CD的距離為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查點到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．