Question

11．已知向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$、$\overrightarrow{c}$，滿足|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{10}$，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{5}$，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-5，$\overrightarrow{c}$=x$\overrightarrow{a}$+（1-x）$\overrightarrow$．
（1）當(dāng)$\overrightarrow$⊥$\overrightarrow{c}$時，求實(shí)數(shù)x的值；
（2）當(dāng)|$\overrightarrow{c}$|取最小值時，求向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{c}$的夾角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）利用$\overrightarrow$⊥$\overrightarrow{c}$時$\overrightarrow$•$\overrightarrow{c}$=0，列出方程求出x的值；
（2）求出x=$\frac{2}{5}$時|$\overrightarrow{c}$|取得最小值，再求此時向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{c}$的夾角余弦值．

解答 解：（1）|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{10}$，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{5}$，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-5，$\overrightarrow{c}$=x$\overrightarrow{a}$+（1-x）$\overrightarrow$；
當(dāng)$\overrightarrow$⊥$\overrightarrow{c}$時，$\overrightarrow$•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow$•[x$\overrightarrow{a}$+（1-x）$\overrightarrow$]=x$\overrightarrow$•$\overrightarrow{a}$+（1-x）${\overrightarrow}^{2}$=0，
∴-5x+5（1-x）=0，
解得x=$\frac{1}{2}$；
（2）∵${\overrightarrow{c}}^{2}$=x²${\overrightarrow{a}}^{2}$+2x（1-x）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+（1-x）²${\overrightarrow}^{2}$
=10x²-10x（1-x）+5（1-x）²
=25x²-20x+5，
當(dāng)x=$\frac{20}{2×25}$=$\frac{2}{5}$時，|$\overrightarrow{c}$|取得最小值，
此時$\overrightarrow{c}$=$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{3}{5}$$\overrightarrow$，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=$\frac{2}{5}$${\overrightarrow{a}}^{2}$+$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{2}{5}$×10+$\frac{3}{5}$×（-5）=1，且|$\overrightarrow{c}$|=1，
∴向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{c}$的夾角余弦值為cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}|×|\overrightarrow{c}|}$=$\frac{1}{\sqrt{10}×1}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積的應(yīng)用問題，也考查了求向量的模長與夾角的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．