Question

1．已知圓F的方程為x²+y²-2x-2y-6=0，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的圓O與圓F相切．
（1）求圓O的方程；
（2）若圓O上有兩點(diǎn)M，N關(guān)于直線x+2y=0對稱，且|$\overrightarrow{MN}$|=2$\sqrt{3}$，試求直線MN的方程；
（3）若滿足（2）的圓O與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，圓O內(nèi)的動點(diǎn)P使得|$\overrightarrow{PA}$|，|$\overrightarrow{PO}$|，|$\overrightarrow{PB}$|成等比數(shù)列，試求$\overrightarrow{PA}•$$\overrightarrow{PB}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用點(diǎn)到直線的距離公式求出半徑r，從而求得圓O的方程．
（2）用點(diǎn)斜式設(shè)出MN的方程為y=2x+b，由條件求出圓心O到直線MN的距離，即可得到MN的方程．
（3）由題意可得|PA|•|PB|=|PO|² ，設(shè)點(diǎn)P（x，y），代入化簡可得x²=y²+9．由點(diǎn)P在圓內(nèi)可得 x²+y²＜18，可得0≤2y²＜9．化簡$\overrightarrow{PA}•$$\overrightarrow{PB}$=2y²-9，從而求$\overrightarrow{PA}•$$\overrightarrow{PB}$的取值范圍．

解答 解：（1）圓F的方程為x²+y²-2x-2y-6=0，可化為（x-1）²+（y-1）²=8
∵圓F的方程為x²+y²-2x-2y-6=0，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的圓O與圓F相切，
∴圓O的半徑r=$\sqrt{2}$或3$\sqrt{2}$，故圓O的方程為x²+y²=2或x²+y²=18．
（2）∵圓O上有兩點(diǎn)M、N關(guān)于直線x+2y=0對稱，
∴MN的斜率等于直線x+2y=0斜率的負(fù)倒數(shù)，等于2，
設(shè)MN的方程為y=2x+b，即2x-y+b=0．
由弦長公式可得，圓心O到直線MN的距離等于$\sqrt{18-3}$=$\sqrt{15}$，
設(shè)直線MN的方程為2x-y+b=0，則$\frac{|b|}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{15}$，∴b=±5$\sqrt{3}$，
∴直線MN的方程為2x-y±5$\sqrt{3}$=0；
（3）不妨設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0），x₁＜x₂．由x²=18即得A（-3$\sqrt{2}$，0），B（3$\sqrt{2}$，0）．
設(shè)P（x，y），
由|$\overrightarrow{PA}$|，|$\overrightarrow{PO}$|，|$\overrightarrow{PB}$|成等比數(shù)列，兩邊平方，可得（x²+y²+18）²-72x²=（x²+y²）²，
化簡整理可得，x²-y²=9．
$\overrightarrow{PA}•$$\overrightarrow{PB}$=x²-18+y²=2y²-9．
由于點(diǎn)P在圓O內(nèi)，故$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}＜18}\\{{x}^{2}-{y}^{2}=9}\end{array}\right.$
由此得0≤2y²＜9．
所以$\overrightarrow{PA}•$$\overrightarrow{PB}$的取值范圍為[-9，0）．

點(diǎn)評 本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，直線和圓的位置關(guān)系，兩個向量的數(shù)量積的定義，屬于中檔題．