Question

4．設函數(shù)f（x）=（x-a）²lnx，a∈R
（1）證明：函數(shù)f（x）=（x-a）²lnx，a∈R的圖象恒經(jīng)過一個定點；
（2）若函數(shù)h（x）=$\frac{x}{x-a}$f′（x）在（0，+∞）有定義，且不等式h（x）≤0在（0，+∞）上有解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出x=1時，f（1）=0，得到函數(shù)f（x）恒過（1，0）即可；
（2）問題轉化為a≥（2xlnx+x）_min即可，令m（x）=2xlnx+x，（x＞0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m（x）的最小值，從而求出a的范圍．

解答 解：（1）x=1時，f（1）=0，
故f（x）恒過（1，0）點；
（2）∵f′（x）=2（x-a）lnx+$\frac{{（x-a）}^{2}}{x}$，
∴h（x）=2xlnx+x-a，（x＞0），
若不等式h（x）≤0在（0，+∞）上有解，
則a≥（2xlnx+x）_min即可，
令m（x）=2xlnx+x，（x＞0），則m′（x）=3+2lnx，
令m′（x）＞0，解得：x＞${e}^{-\frac{3}{2}}$，令m′（x）＜0，解得：0＜x＜${e}^{-\frac{3}{2}}$，
∴m（x）在（0，${e}^{-\frac{3}{2}}$）遞減，在（${e}^{-\frac{3}{2}}$，+∞）遞增，
∴m（x）_min=m（${e}^{-\frac{3}{2}}$）=-2${e}^{-\frac{3}{2}}$，
∴a∈[${e}^{-\frac{3}{2}}$，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用，是一道中檔題．