Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+a}$（a＞0）在x=-1處的切線垂直于y軸．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）求過點M（1，f（1））且與曲線y=f（x）相切的切點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用f′（-1）=0，解方程即可．
（2）設(shè)出切點坐標，求出切線方程，進行求解即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+a}$，
∴f′（x）=$\frac{2（{x}^{2}+a）-2x•2x}{（{x}^{2}+a）^{2}}$=$\frac{-2{x}^{2}+2a}{（{x}^{2}+a）^{2}}$，
∵數(shù)f（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+a}$（a＞0）在x=-1處的切線垂直于y軸，
∴f′（-1）=0，
即f′（-1）=$\frac{-2+2a}{（1+a）^{2}}$=0，即2a-2=0，得a=1．
（2）∵a=1，∴f（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$，f′（x）=$\frac{-2{x}^{2}+2}{（{x}^{2}+1）^{2}}$，
∵f（1）=1，∴M（1，1），
設(shè)切點P（m，$\frac{2m}{{m}^{2}+1}$），則切線斜率k=f′（m）=$\frac{2-2{m}^{2}}{（{m}^{2}+1）^{2}}$，
則切線方程為y-$\frac{2m}{{m}^{2}+1}$=$\frac{2-2{m}^{2}}{（{m}^{2}+1）^{2}}$（x-m），
∵切線過M（1，1），
∴1-$\frac{2m}{{m}^{2}+1}$=$\frac{2-2{m}^{2}}{（{m}^{2}+1）^{2}}$•（1-m），
即$\frac{（m-1）^{2}}{{m}^{2}+1}$=$\frac{2（1-m）^{2}（1+m）}{（{m}^{2}+1）^{2}}$，
即（m²+1）（m-1）²=2（1+m）（m-1）²，
若m=1，滿足條件，
當m≠1時，方程等價為m²+1=2（1+m），即m²-2m-1=0，
得m=1±$\sqrt{2}$，
當m=1時，P（1，1），
當m=1+$\sqrt{2}$，P（1+$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
當m=1-$\sqrt{2}$，P（1-$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

點評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的切線方程是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的計算能力．