Question

13．如圖，已知二面角α-BC-β的大小為θ（0≤θ≤$\frac{π}{2}$）．在面α內有△ABC，它在面β內的射影為△A′BC．它們的面積分別為S，S′，求證：cosθ=$\frac{S′}{S}$．

Answer 1

分析 根據(jù)二面角的定義結合三角形的面積公式進行證明即可．

解答 解：∵△ABC在面β內的射影為△A′BC．
∴AA′⊥β，
過A作AD⊥BC，連接A′D，
∵AA′⊥BC，A′A∩AD=A，
∴BC⊥平面AA′DM
則A′D⊥BC，
即∠ADA′是面角α-BC-β的平面角，即∠ADA′=θ，
則S=$\frac{1}{2}$BC•AA′，S′=$\frac{1}{2}$BC•A′D，
則$\frac{S′}{S}$=$\frac{\frac{1}{2}BC•A′D}{\frac{1}{2}BC•A′D}$=$\frac{A′D}{AD}$，
在直角三角形AA′D中，cosθ=$\frac{A′D}{AD}$，
∴cosθ=$\frac{S′}{S}$

點評 本題主要考查二面角的應用，根據(jù)二面角的定義作出二面角的平面角，結合直角三角形的邊角關系是解決本題的關鍵．