Question

19．設(shè){a_n}是無窮數(shù)列，令a′k=$\frac{{a}_{k}+{a}_{k+1}}{2}$，（k=1，2，…），則稱{a′_k}是{a_k}的均值數(shù)列．仿此可定義，{a″_k}是{a′_k}的均值數(shù)列，且{a″_k}是{a′_k}的第二級均值數(shù)列．若{a_k}的各級均值數(shù)列都是整數(shù)列，則稱{a_k}是“好”數(shù)列，求證：若{a_k}是“好”數(shù)列，則{a_k²}也是“好”數(shù)列．

Answer 1

分析 由新定義可得，{a_k}的各級均值數(shù)列都是整數(shù)列，即有{a_k}均為奇數(shù)構(gòu)成的數(shù)列或均為偶數(shù)構(gòu)成的數(shù)列，根據(jù)奇數(shù)的平方必為奇數(shù)，偶數(shù)的平方必為偶數(shù)，即可得證．

解答 證明：若{a_k}是“好”數(shù)列，
由新定義可得，{a_k}的各級均值數(shù)列都是整數(shù)列，
即有{a_k}均為奇數(shù)構(gòu)成的數(shù)列或均為偶數(shù)構(gòu)成的數(shù)列，
根據(jù)奇數(shù)的平方必為奇數(shù)，偶數(shù)的平方必為偶數(shù)，
可得{a_k²}的各級均值數(shù)列都是整數(shù)列，
由新定義可得{a_k²}也是“好”數(shù)列．

點(diǎn)評 本題考查新定義的理解和運(yùn)用，注意運(yùn)用奇數(shù)和偶數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．