Question

14．若過(guò)點(diǎn)P（a，b）（b≠a³-3a）可作曲線(xiàn)f（x）=x³-3x的切線(xiàn)恰有兩條，則（a-1）²+（b-2）²的最小值為$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)出切點(diǎn)，求出切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)即切線(xiàn)的斜率，據(jù)點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線(xiàn)的方程，將切點(diǎn)代入，列出關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程，據(jù)題意此方程有兩個(gè)根，構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)導(dǎo)函數(shù)求出兩個(gè)極值，得到a，b的關(guān)系．進(jìn)行求解即可．

解答 解：f′（x）=3x²-3，
過(guò)點(diǎn)點(diǎn)P（a，b）作曲線(xiàn)C的切線(xiàn)，設(shè)切點(diǎn)（x₀，f（x₀）），則切線(xiàn)方程為：y=（3x₀²-3）（x-a）+b，
將（x₀，f（x₀））代入得：f（x₀）=（3x₀²-3）（x₀-a）+b=x₀³-3x₀，
即2x₀³-3ax₀²+3a+b=0（*）   
由條件切線(xiàn)恰有兩條，方程（*）恰有兩根．
即2x₀³-3ax₀²+3a=-b
令u（x）=2x³-3ax²+3a，u′（x）=6x²-6ax=6x（x-a），
則a≠0時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)x=0與x=a，
于是u（0）=-b或u（a）=-b
當(dāng)u（0）=0時(shí)，3a=-b，即b=-3a，
當(dāng)u（a）=-b時(shí)，2a³-3a³+3a=-a³+3a=-b，
即b=a³-3a，與b≠a³-3a矛盾，
∴b=-3a，即3a+b=0
則（a-1）²+（b-2）²的幾何意義是直線(xiàn)3a+b=0上的點(diǎn)到定點(diǎn)M（1，2）的距離的平方，
則點(diǎn)M到直線(xiàn)的距離d=$\frac{|3+2|}{\sqrt{{3}^{2}+1}}=\frac{5}{\sqrt{10}}$，
則（a-1）²+（b-2）²的最小值為d²=（$\frac{5}{\sqrt{10}}$）²=$\frac{5}{2}$，
故答案為：$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為曲線(xiàn)的切線(xiàn)斜率；求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵．