Question

14．是否存在實數(shù)a，使得函數(shù)=-$\frac{1}{2}$cos2x+acosx+$\frac{5}{8}$a-1在閉區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值是1？若存在，求出對應(yīng)的a值；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析 化簡函數(shù)f（x），令cosx=t，t∈[0，1]，求出f（t）在t∈[0，1]的最大值函數(shù)g（a），再令g（a）=1，求對應(yīng)a的值是否存在即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{2}$cos2x+acosx+$\frac{5}{8}$a-1=-cos²x+acosx+$\frac{5}{8}$a-$\frac{1}{2}$，
令cosx=t，t∈[0，1]，∴f（t）=-t²+at+$\frac{5}{8}$a-$\frac{1}{2}$，對稱軸為t=$\frac{1}{2}$a，
當(dāng)a≤0時，函數(shù)f（t）在[0，1]上是減函數(shù)，
∴f（x）的最大值是g（a）=f（0）=$\frac{5}{8}$a-$\frac{1}{2}$；
當(dāng)0＜a＜2時，f（x）在x∈[0，1]的最大值是g（a）=f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{1}{4}$a²+$\frac{5}{8}$a-$\frac{1}{2}$；
當(dāng)a≥2時，函數(shù)f（t）在[0，1]上是增函數(shù)，
∴f（x）的最大值是g（a）=f（1）=$\frac{13}{8}$a-$\frac{3}{2}$；
綜上，f（x）的最大值g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{8}a-\frac{1}{2}，a≤0}\\{{\frac{1}{4}a}^{2}+\frac{5}{8}a-\frac{1}{2}，0＜a＜2}\\{\frac{13}{8}a-\frac{3}{2}，a≥2}\end{array}\right.$；
令$\frac{5}{8}$a-$\frac{1}{2}$=1，解得a=2.4＞0，不滿足條件；
令$\frac{1}{4}$a²+$\frac{5}{8}$a-$\frac{1}{2}$=1，解得a=-4（不滿足條件）或a=$\frac{3}{2}$；
令$\frac{13}{8}$a-$\frac{3}{2}$=1，解得a=$\frac{20}{13}$＜2，不滿足條件；
綜上，存在a=$\frac{3}{2}$時，函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值是1．

點評 本題考查了二倍角公式以及二次函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問題，也考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，其中求出最大值函數(shù) g（a）是解題的關(guān)鍵，是較難的題目．