Question

4．已知a＞0，b＞0若a+b=2，則$\frac{1}{1+a}+\frac{4}{1+b}$的最小為$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 先將條件a+b=2，改寫成$\frac{1}{4}$[（a+1）+（b+1）]=1，再用“貼1法”和基本不等式求最值．

解答 解：因?yàn)閍+b=2，所以，（a+1）+（b+1）=4，
則$\frac{1}{4}$[（a+1）+（b+1）]=1，
所以，$\frac{1}{1+a}+\frac{4}{1+b}$=（$\frac{1}{1+a}+\frac{4}{1+b}$）•1
=$\frac{1}{4}$•（$\frac{1}{1+a}+\frac{4}{1+b}$）•[（a+1）+（b+1）]
=$\frac{1}{4}$[1+4+$\frac{1+b}{1+a}$+$\frac{4（1+a）}{1+b}$]
≥$\frac{1}{4}$[5+2$\sqrt{\frac{1+b}{1+a}•\frac{4（1+a）}{1+b}}$]
=$\frac{1}{4}$（5+4）=$\frac{9}{4}$，
即$\frac{1}{1+a}+\frac{4}{1+b}$的最小值為：$\frac{9}{4}$，
故答案為：$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了基本不等式在求最值問題中的應(yīng)用，合理構(gòu)造等量關(guān)系和運(yùn)用“貼1法”是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．