Question

3．已知{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為d的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)的和為A_n；{b_n}是首項(xiàng)為1，公比為q（|q|＜1）的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)的和為B_n．設(shè)S_n=B₁+B₂+…+B_n．若$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{{A}_{n}}{n}$-S_n）=1，求d和q．

Answer 1

分析 運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式求得A_n，B_n，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：分組求和可得S_n，再由數(shù)列的極限：$\underset{lim}{n→∞}$qⁿ=0，即可得到d，q的方程，解方程可得所求．

解答 解：由題意可得前n項(xiàng)的和為A_n=n+$\frac{1}{2}$n（n-1）d，
B_n=$\frac{1-{q}^{n}}{1-q}$，S_n=B₁+B₂+…+B_n=（$\frac{1}{1-q}$-$\frac{q}{1-q}$）+（$\frac{1}{1-q}$-$\frac{{q}^{2}}{1-q}$）+…+（$\frac{1}{1-q}$-$\frac{{q}^{n}}{1-q}$）
=$\frac{n}{1-q}$-（$\frac{q}{1-q}$+$\frac{{q}^{2}}{1-q}$+…+$\frac{{q}^{n}}{1-q}$）=$\frac{n}{1-q}$-$\frac{1}{1-q}$•$\frac{q（1-{q}^{n}）}{1-q}$，
若$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{{A}_{n}}{n}$-S_n）=1，即有$\underset{lim}{n→∞}$[1+$\frac{1}{2}$（n-1）d-$\frac{n}{1-q}$+$\frac{1}{1-q}$•$\frac{q（1-{q}^{n}）}{1-q}$]=1，
由$\underset{lim}{n→∞}$qⁿ=0，可得1-$\frac{1}{2}$d+$\frac{q}{（1-q）^{2}}$=1，且$\frac{1}{2}$d-$\frac{1}{1-q}$=0，
解方程可得d=4，q=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的極限的求法，運(yùn)用$\underset{lim}{n→∞}$qⁿ=0，同時(shí)考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式的運(yùn)用，以及數(shù)列的求和方法：分組求和，屬于中檔題．