Question

5．已知函數(shù)f（x）=sin$\frac{x}{2}$+$\sqrt{3}$cos$\frac{x}{2}$，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）在x∈[-2π，2π]上的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）化簡可得f（x）=2sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$），由周期公式可得；
（2）解2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，取x∈[-2π，2π]上部分的即可．

解答 解：（1）化簡可得f（x）=sin$\frac{x}{2}$+$\sqrt{3}$cos$\frac{x}{2}$=2sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π；
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得4kπ-$\frac{5π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[4kπ-$\frac{5π}{3}$，4kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z，
由x∈[-2π，2π]可得單調(diào)遞增區(qū)間為[-$\frac{5π}{3}$，$\frac{π}{3}$]．

點評 本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題．